Николай Михайлович Кошаев родился 22 мая 1911 года в селе Набережные Челны (ныне — город в Татарстане) в семье рабочего. Русский.
После окончания Уральского индустриального института работал инженером-строителем на Нижнетагильском металлургическом заводе.
В 1935 году призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию.
В 1937 году он окончил курсы усовершенствования командного состава. Участвовал в польском походе.
С 22 июня 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. К марту 1944 года гвардии полковник Николай Кошаев командовал 11-й отдельной гвардейской танковой бригадой, 2-й танковой армии, 2-го Украинского фронта. Отличился во время боёв под Уманью
В начале марта 1944 года Кошаев во главе группы из 18 танков предпринял рейд по немецким тылам. Группа успешно захватила вражеский аэродром и штаб пехотной дивизии вермахта. В общей сложности в результате рейда было уничтожено 124 танка и большое количество другой боевой техники, нарушены вражеские коммуникации и линии связи, уничтожено большое количество солдат и офицеров противника. В тех боях Кошаев был тяжело ранен, лишился левой руки
11 марта 1944 г. Указом Президиума Верховного Совета СССР присвоено звание Героя Советского Союза "за "образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм"